Simpsonův paradox: poměr úmrtnosti se v britské tabulce po rozdělení podle věku obrátil

Většina figur, kterými se dá zmást čtenář, potřebuje aspoň jedno nepravdivé číslo. Tahle ne. Stačí postavit vedle sebe dva počty a neříct, z jak nesourodých skupin pocházejí. Všechno ostatní si čtenář domyslí sám a domyslí si to špatně.

Jak se ta figura jmenuje

Jména má dvě a stojí za to je nezaměňovat. Zanedbání základní míry je ta jednodušší chyba: počet se bere jako údaj o riziku, přestože o velikosti skupiny, ze které pochází, neříká nic. Když je naočkovaná drtivá většina lidí, bude očkovaná i většina těch, kdo onemocní, a samo o sobě to neznamená vůbec nic. Simpsonův paradox je o patro výš: nespletlo se jen počítání hlav, ale složení skupin – a výsledek se po jejich rozdělení obrátí.

Stanfordská encyklopedie filozofie, otevřená příručka s recenzním řízením, ho v hesle naposledy přepsaném 6. června 2026 definuje jako statistický jev, při kterém souvislost mezi dvěma veličinami vznikne, zmizí nebo se obrátí, jakmile se soubor rozdělí na podsoubory. Dodává, že z hlediska matematiky na tom není nic sporného; potíž je až v tom, jaký závěr se z výsledku vyvodí. Jméno nese jev po krátké práci E. H. Simpsona z roku 1951, popsali ho ale už Karl Pearson roku 1899 a George Yule roku 1903.

Doložený případ

Že to není školní příklad, ukazuje rozbor, který 14. září 2021 vydali Manipulátoři.cz. Rozebrali příspěvek slovenského poslance Ľuboše Blahy, který postavil vedle sebe podíl neočkovaných v nemocnicích na Slovensku a podíl očkovaných v nemocnicích v Irsku a vyvodil z toho, že očkování nechrání. Ověřovatelé odpověděli tím, že v Irsku bylo tehdy naočkované devadesát procent dospělých a ve věku nad šedesát let přes sedmadevadesát procent, takže při vysoké proočkovanosti musí být očkovaná i většina nemocných. V témže textu píšou, že podobné tvrzení už bylo vyvráceno o několik měsíců dřív, tehdy nad počty hospitalizovaných v Anglii.

Anglická tabulka, ze které se počítalo

Anglická čísla toho druhu jsou veřejná dodnes a stojí za to je vzít od začátku. Britský úřad veřejného zdraví (Public Health England) vydal 17. září 2021 technický briefing číslo 23 a jeho tabulka 5 rozepisuje sekvenované a genotypované případy varianty delta v Anglii od 1. února do 12. září 2021 podle očkovacího stavu. Celkem 593 572 případů a 2 542 úmrtí do osmadvaceti dnů od pozitivního testu.

Z těch úmrtí připadá 1 613 na lidi nejméně čtrnáct dnů po druhé dávce a 722 na neočkované. Přesně u takové dvojice ta figura začíná: obě čísla jsou pravdivá, obě jsou z vládního dokumentu – a na závěr o tom, jestli očkování chrání, samy nestačí.

Jedno dělení nestačí

Obvyklá rada zní, že se počty mají vydělit velikostí skupin. Udělejme to. Případů nejméně čtrnáct dnů po druhé dávce je v tabulce 157 400, neočkovaných případů 257 357 – očkovaná skupina je tu tedy ta menší, takže samotnou velikostí se nic nevysvětlí. Vyjde 10,2 úmrtí na tisíc případů u očkovaných a 2,8 u neočkovaných, poměr 3,7 ku jedné, tedy stejný směr jako u holých počtů. A pořád je to špatně, protože obě skupiny nejsou složené ze stejných lidí.

To je na téhle figuře nejnepříjemnější. Samotné dělení ji nerozbije a čtenář, který se s ním spokojí, odejde s týmž závěrem, jen si ho odvodil pracněji.

Druhé dělení výsledek obrací

Tabulka má i řádky podle věku a tam se ukáže, co se v součtu ztratilo:

• Do padesáti let: 48 úmrtí z 85 407 případů po druhé dávce, tedy 0,56 na tisíc, proti 132 úmrtím z 248 803 případů neočkovaných, tedy 0,53 na tisíc. Prakticky vyrovnané, o šest procent hůř pro očkované.
• Od padesáti let výš: 1 565 úmrtí z 71 991 případů po druhé dávce, tedy 21,7 na tisíc, proti 590 úmrtím z 8 551 případů neočkovaných, tedy 69,0 na tisíc. Tady je úmrtnost neočkovaných 3,2krát vyšší.

Vysvětlení je v tom, z čeho se obě skupiny skládají. Mezi očkovanými případy je 45,7 procenta lidí nad padesát let, mezi neočkovanými 3,3 procenta – skoro čtrnáctinásobný rozdíl. Že se očkovalo od nejstarších, je z téže tabulky vidět: mezi případy nad padesát let bylo po druhé dávce 75 procent lidí, mezi mladšími 17 procent. A protože na starší skupinu připadá 2 336 z 2 542 úmrtí, tedy 92 procent, rozhoduje o celkovém poměru ona.

Poctivé je dodat, že o učebnicový převrat v obou podskupinách nejde: v mladší skupině vyjdou obě čísla v podstatě stejně. Obrací se to ve starší, a to stačí, protože v ní je téměř celý úhrn.

Čím se ta tabulka dá zkontrolovat

Sloupce se dají sečíst a musí dát řádkový součet. U případů dá pět sloupců – 58 003, 30 674, 90 138, 157 400 a 257 357 – přesně 593 572, u úmrtí dá 41, 17, 149, 1 613 a 722 přesně 2 542. Kdyby některý součet nevyšel, posunul se při čtení z PDF sloupec a s ním celý výpočet.

Věkové řádky se naopak nesečtou úplně: 592 692 případů proti 593 572 a 2 540 úmrtí proti 2 542. Rozdíl vysvětluje poznámka pod tabulkou – u části případů chybí údaj o věku.

Co v témž dokumentu stojí o kus dál

Tabulka 7 téhož briefingu shrnuje doklady o účinnosti vakcín proti deltě a v souhrnném sloupci uvádí u úmrtí devadesát až pětadevadesát procent. Porovnáním dvou počtů z tabulky 5 nevznikla: u účinnosti proti symptomatickému onemocnění briefing výslovně píše, že se počítá metodou test-negativní studie případů a kontrol, tedy postupem, který rozdíly mezi skupinami zohledňuje, a u ostatních výsledků odkazuje na samostatnou zprávu o dohledu nad očkováním. V oddílu, který tabulku 5 uvádí, navíc stojí, že podrobná data podle věku a očkovacího stavu vycházejí každý týden právě v té zprávě a že tabulka 5 se v briefingu objeví už jen dvakrát. Dokument, ze kterého se ta dvojice čísel brala, ji tedy sám za měřítko účinnosti nevydává.

A ještě jedna věc, kterou je nutné říct nahlas: jmenovatelem v tabulce 5 jsou potvrzené případy, ne obyvatelstvo. I opravený výpočet po věkových skupinách tedy vypovídá o tom, jak nemoc dopadne u nakaženého, ne o celkové ochraně. Na tu je v dokumentu právě tabulka 7.

Tři otázky, které to odhalí

• Jak velké jsou obě skupiny? Bez jmenovatele je počet jenom počet. Když text velikost skupin neuvádí, bývá to proto, že se s ní závěr rozpadne.
• Liší se ty skupiny něčím, co s výsledkem souvisí samo o sobě? Věk, zdravotní stav, pořadí, ve kterém se k něčemu přišlo. U očkování to bývá věk.
• Platí závěr i uvnitř podskupin? Když ne, platí to, co vyjde uvnitř. Součet přes nesourodé skupiny je horší odhad než kterákoli jeho část.

Proč se to nedá vyvrátit kontrolou čísel

U vymyšlené statistiky stačí najít zdroj a je hotovo. Tady zdroj sedí, čísla sedí a i to první dělení sedí – neplatí až závěr. Vyvrací se to jediným způsobem: doplněním toho, co text vynechal, tedy velikosti a složení obou skupin. Je to táž práce jako u výběru počátečního roku, kde se doplňuje rozsah řady, a příbuzná tomu, proč se počet záznamů v databázi nerovná počtu případů.

Tenhle díl neposuzuje žádné konkrétní tvrzení, a proto nenese razítko verdiktu. Čísla pocházejí z tabulek 5 a 7 technického briefingu britského úřadu veřejného zdraví, definice figury ze Stanfordské encyklopedie filozofie, doložený případ z ověření Manipulátorů.cz. Starší díly seriálu jsou o přesunutém důkazním břemeni, o citátu bez pramene, o slaměném panákovi a o mizejícím datu.